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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 21

Marcelo Valderrey
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Teniendo todas las ecuaciones de la elasticidad lineal en un formato conveniente para su resolución, comprobamos que la vía analítica es muy compleja y restringida a geometrías y condiciones muy sencillas. Simplemente sucede que "la mayoría de las soluciones reales no son polinomios" ni tienen expresiones explícitas como quisiéramos. La óptica de resolución numérica plantea al menos dos grandes alternativas: aproximar derivadas con diferencias finitas (Método de las Diferencias Finitas MDF) o armar una función muy flexible, polinómica a trozos, comandada por "n" parámetros y obtener de forma aproximada los mismos "armando un sistema de nxn ecuaciones linealmente independientes" (Métodos de Resíduos Ponderados MRP, con el Método de Elementos Finitos MEF como caso particular). Lo más curioso es que, por distintos que parezcan estos métodos, es posible observar finalmente que todos ellos responden a la misma idea general: PROPONER UNA FUNCION Y APROXIMARLA A TRAVES DE LA PONDERACION DE LOS RESIDUOS QUE PROVOCAN EN LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 20

Marcelo Valderrey
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Ya resultaron evidentes las ventajas del método de los desplazamientos, por cuanto evita la verificación de las ecuaciones de compatibilidad. Ahora es posible dar un paso más adelante y acomodar todas las ecuaciones para escribirlas en función de los desplazamientos. De este modo adoptan el formato con el que las resuelven los métodos numéricos actuales, que convierten al campo de desplazamientos en la "incógnita principal" del problema, la resuelven y luego (en el "postproceso") las reemplazan en otras ecuaciones para calcular las "incógnitas secundarias" tales como las deformaciones (derivando los desplazamientos) y las tensiones (aplicando la ley de Hooke).
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 19

Marcelo Valderrey
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La experiencia con el método de las tensiones indicó que era necesario cotejar las complejas "ecuaciones de compatibilidad" entre deformaciones y desplazamientos, ya que éstos se obtenían casi al final del proceso y sus tres componentes podían no ser compatibles con las seis componentes de deformación previamente obtenidas. Por ello surgió la idea de empezar el método postulando los campos de desplazamientos, cuya condición de ser continuos ya aseguraba la compatibilidad con las deformaciones y no era necesario verificar las complejas ecuaciones de compatibilidad.
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 18

Marcelo Valderrey
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En este apartado veremos un ejemplo del método de las tensiones, que fue uno de los primeros intentos por resolver analíticamente el problema elástico basándose en la experiencia y conocimiento de casos particulares que permitían a los analistas "postular las funciones de tensión" de forma genérica como polinomios de cierto grado (que estimaban como aptos para cada componente de tensión) cuyos coeficientes se iban definiendo en la medida que eran reemplazados en las distintas ecuaciones del modelo elástico.
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 17

Marcelo Valderrey
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En este cuarto capítulo completaremos todas las ideas desarrolladas previamente, procediendo a reunir las ecuaciones, darles formatos convenientes y resolverlas por distintos métodos analíticos (de gran valor teórico pero limitados en la práctica a casos muy sencillos) y métodos numéricos (a los que daremos una introducción conceptual con ejemplos, destacando que su estudio merece materiales específicos).
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 16

Marcelo Valderrey
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Para cerrar este capítulo, ya centrado en el material elástico isótropo, es conveniente estudiar dos cuestiones: la relación entre las tres constantes elásticas "E, G, nu" (que deben estar vinculadas porque el material isótropo solo depende de dos constantes) y los valores que puede adoptar el coeficiente de Poisson para ser consistente con la física (¿podrá ser negativo? ¿podrá valer 1 o más?
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 15

Marcelo Valderrey
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La forma inversa de la ley de Hooke para el material isótropo se dedujo muy intuitivamente y expresa cada componente de la deformación en función de las distintas componentes de tensión que son responsables de ella directa (como un estiramiento en su misma dirección, comandado por el módulo de Young) o indirectamente (como un estiramiento en dirección perpendicular, en el que participa el coeficiente de Poisson).
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 14

Marcelo Valderrey
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Al personalizar la ley de Hooke 3D al caso más frecuente y sencillo (material isótropo) descubrimos que solo está comandada por dos constantes elásticas. Ahora veremos de forma intuitiva cómo obtenerlas analizando las deformaciones provocadas por distintas componentes unidimensionales de tensión que, al relacionarse linealmente, admiten el uso del principio de superposición de efectos. En estas expresiones, conocidas del caso unidimensional, aparecen tres constantes vinculadas entre sí: el módulo elástico longitudinal "E" (Young), el módulo elástico transversal "G" y el coeficiente de Poisson "nu".
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 13

Marcelo Valderrey
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Empezaremos por dar una mirada, generalizada a tres dimensiones, de la Ley de Hooke que conocimos a través de los ensayos de tracción unidimensionales, en los cuales obtenemos las clásicas gráficas tensión-deformación cuya región elástica (cuando es lineal) está caracterizada por el módulo de Young y el de Poisson.
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 12

Marcelo Valderrey
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En este tercer capítulo discutiremos las relaciones entre Tensión, Deformación y Desplazamiento, a veces denominadas "leyes de comportamiento de materiales", tales como la Ley de Hooke que se aplica en TEL, que es una relación lineal (no reproduce comportamientos elásticos no lineales, ni la plasticidad).
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 11

Marcelo Valderrey
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Para cerrar el capítulo veremos que, además de las relaciones que encontramos entre desplazamientos y deformaciones, existen requisitos matemáticos adicionales para que estas sean "compatibles". En pocas palabras, dadas las tres componentes del desplazamiento, con la sola condición de ser continuas se llega, mediante derivación, de forma inequívoca a las seis componentes de la deformación. Pero, la inversa no es cierta. Dadas las seis componentes de la deformación, incluso siendo continuas, no aseguran que se correspondan con desplazamientos de un sólido que permanece "continuo"...
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 10

Marcelo Valderrey
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En apartado 2.1 analizamos las deformaciones de un cubo diferencial y obtuvimos expresiones que luego, en el apartado 2.2, identificamos volvimos a encontrar cuando buscábamos la deformación de un segmento de orientación arbitraria. Las llamamos "componentes de la deformación". Ahora veremos que son componentes de un tensor y todo lo que deriva de tal carácter tensorial.
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 9

Marcelo Valderrey
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Las deformaciones son análogas a las tensiones en cuanto a su carácter direccional. En este apartado veremos cómo obtener la deformación en un punto según una dirección dada por el versor "n".
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 8

Marcelo Valderrey
in Theory
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El segundo capítulo de TEL se refiere a los desplazamientos y las deformaciones, que en esta teoría están relacionados con aproximaciones lineales (pequeñas deformaciones).
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 7

Marcelo Valderrey
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Para completar el capítulo referido a las tensiones, es necesario abordar una cuestión importante: encontrar la forma de obtener las tensiones y direcciones principales. Se trata de un tópico con algo más de carga algebraica que los anteriores, pero que permite un entendimiento profundo del fenómeno direccional de las tensiones, que justifica el uso de tensores para describirla.
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