Calor y métodos numéricos - Parte 8
Pude deducir la ecuación de transferencia de calor, resolverla analíticamente, discretizarla y resolverla por el Método de Diferencias Finitas... y ahora, además, soy capaz de comprender lo que significa un esquema de avance temporal explícito versus uno implícito. Nada mal para un principiante!!!
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Step 1:
Definitivamente, el método de Diferencias Finitas (MDF) es el más intuitivo para iniciarse en la resolución aproximada de ecuaciones diferenciales.
Basta con saber aproximar derivadas de primero y segundo orden a través de simples diferencias (sin llegar al concepto matemático de límite) y reemplazar en la ecuación diferencial las derivadas continuas por estas versiones discretas.
En la ecuación de transferencia de calor en sólidos, con la que venimos experimentando, es incluso sorprendente que resulte más fácil resolver el caso transitorio (dependiente del tiempo) que el estacionario (que es al cual, eventualmente, se llega luego del período transitorio).
Esto es así porque si discretizamos la derivada temporal de la ecuación "hacia adelante" llegamos a una expresión en la que aparecen las temperaturas en el punto "i" y sus vecinos "i+1" e "i-1" todas para el instante de tiempo "t", al igual que el término fuente (calor interno "Q" en el punto "i", y el instante "t")... y solamente un valor de temperatura en el punto "i" en el instante futuro "i+1".
Si uno imagina que tiene como dato todo lo que ocurrió en el instante "i", entonces puede despejar el valor de la temperatura en un punto "i" del futuro "t+1" y calcularla en función de aquello. Al iniciar el cálculo temporal siempre necesitamos las "condiciones de contorno" (Dirichlet, Neumann, Mixtas, Radiación, etc) pero también las "condiciones iniciales en t=0" (se debe conocer el valor de todas las temperaturas de la pieza en el instante inicial).
Así, tenemos lo necesario para calcular en cada punto "i" las temperaturas en el instante siguiente, usando la sencilla ecuación anterior en cada punto, sin necesidad de plantear ni resolver ningún sistema de ecuaciones. Esto suele denominarse ESQUEMA DE AVANCE TEMPORAL EXPLICITO y es el que recomiendo para dar nuestros primeros pasos en la construcción de un simulador numérico en una sencilla hoja de cálculo, sin requerir conocimientos de programación, más allá de crear una macro que copie valores calculados del futuro "t+1" y los pegue como valores pasados "t" para que las fórmulas provean el nuevo futuro "t+2".
Tan sencillez es muy satisfactoria para entusiasmarnos como constructores de simuladores numéricos sencillos, mientras en paralelo resolvemos problemas más complejos en software comercial (que seguramente aplica el método de los elementos finitos FEM)... más tarde descubriremos que esta sencillez tiene asociadas ciertas limitaciones.
De eso se trata este apunte: comparar el esquema de avance temporal explicito EATE con el denominado esquema de avance temporal IMPLÍCITO que, a costa de mayor complejidad, nos provee velocidad y estabilidad incondicional!
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Step 2:
