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Te lo explico con una simple viga a tracción (8)

Marcelo Valderrey
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Es increíble lo mucho que puede aprenderse de una simple viga! En pocos minutos vamos a vincular importantes conceptos de Resistencia de Materiales (RM) con los de la Teoría de la Elasticidad Lineal (TEL) experimentando con herramientas y tecnologías CADD+CAE.
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 11

Marcelo Valderrey
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Para cerrar el capítulo veremos que, además de las relaciones que encontramos entre desplazamientos y deformaciones, existen requisitos matemáticos adicionales para que estas sean "compatibles". En pocas palabras, dadas las tres componentes del desplazamiento, con la sola condición de ser continuas se llega, mediante derivación, de forma inequívoca a las seis componentes de la deformación. Pero, la inversa no es cierta. Dadas las seis componentes de la deformación, incluso siendo continuas, no aseguran que se correspondan con desplazamientos de un sólido que permanece "continuo"...
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 18

Marcelo Valderrey
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En este apartado veremos un ejemplo del método de las tensiones, que fue uno de los primeros intentos por resolver analíticamente el problema elástico basándose en la experiencia y conocimiento de casos particulares que permitían a los analistas "postular las funciones de tensión" de forma genérica como polinomios de cierto grado (que estimaban como aptos para cada componente de tensión) cuyos coeficientes se iban definiendo en la medida que eran reemplazados en las distintas ecuaciones del modelo elástico.
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 7

Marcelo Valderrey
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Para completar el capítulo referido a las tensiones, es necesario abordar una cuestión importante: encontrar la forma de obtener las tensiones y direcciones principales. Se trata de un tópico con algo más de carga algebraica que los anteriores, pero que permite un entendimiento profundo del fenómeno direccional de las tensiones, que justifica el uso de tensores para describirla.
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Under the hood - part 03: Equations

Marcelo Valderrey
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To begin to look under the hood of Weighted Residual Methods we will have to familiarize ourselves with equations and, in particular, with differential equations and their residues.
numerical simulation fem

Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 10

Marcelo Valderrey
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En apartado 2.1 analizamos las deformaciones de un cubo diferencial y obtuvimos expresiones que luego, en el apartado 2.2, identificamos volvimos a encontrar cuando buscábamos la deformación de un segmento de orientación arbitraria. Las llamamos "componentes de la deformación". Ahora veremos que son componentes de un tensor y todo lo que deriva de tal carácter tensorial.
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 12

Marcelo Valderrey
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En este tercer capítulo discutiremos las relaciones entre Tensión, Deformación y Desplazamiento, a veces denominadas "leyes de comportamiento de materiales", tales como la Ley de Hooke que se aplica en TEL, que es una relación lineal (no reproduce comportamientos elásticos no lineales, ni la plasticidad).
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 6

Marcelo Valderrey
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A partir las ecuaciones de equilibrio en el volumen, deducidas para un cubo diferencial cortado con una superficie arbitraria, es posible extrapolar ideas al interior de la pieza. Esto es, considerar un cubo diferencial del volumen y cortarlo con un plano arbitrario (definido por su versor normal "n") para observar lo que sucede EN CIERTO PUNTO EN TODAS LAS DIRECCIONES, para poder hablar finalmente de "tensión en un punto".
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 20

Marcelo Valderrey
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Ya resultaron evidentes las ventajas del método de los desplazamientos, por cuanto evita la verificación de las ecuaciones de compatibilidad. Ahora es posible dar un paso más adelante y acomodar todas las ecuaciones para escribirlas en función de los desplazamientos. De este modo adoptan el formato con el que las resuelven los métodos numéricos actuales, que convierten al campo de desplazamientos en la "incógnita principal" del problema, la resuelven y luego (en el "postproceso") las reemplazan en otras ecuaciones para calcular las "incógnitas secundarias" tales como las deformaciones (derivando los desplazamientos) y las tensiones (aplicando la ley de Hooke).
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 14

Marcelo Valderrey
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Al personalizar la ley de Hooke 3D al caso más frecuente y sencillo (material isótropo) descubrimos que solo está comandada por dos constantes elásticas. Ahora veremos de forma intuitiva cómo obtenerlas analizando las deformaciones provocadas por distintas componentes unidimensionales de tensión que, al relacionarse linealmente, admiten el uso del principio de superposición de efectos. En estas expresiones, conocidas del caso unidimensional, aparecen tres constantes vinculadas entre sí: el módulo elástico longitudinal "E" (Young), el módulo elástico transversal "G" y el coeficiente de Poisson "nu".
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 19

Marcelo Valderrey
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La experiencia con el método de las tensiones indicó que era necesario cotejar las complejas "ecuaciones de compatibilidad" entre deformaciones y desplazamientos, ya que éstos se obtenían casi al final del proceso y sus tres componentes podían no ser compatibles con las seis componentes de deformación previamente obtenidas. Por ello surgió la idea de empezar el método postulando los campos de desplazamientos, cuya condición de ser continuos ya aseguraba la compatibilidad con las deformaciones y no era necesario verificar las complejas ecuaciones de compatibilidad.
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 5

Marcelo Valderrey
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De igual modo que en el equilibrio en volumen, es posible ahora tomar una porción de la superficie del sólido elástico y plantear su equilibrio de fuerzas y momentos, de los cuales resultarán las llamadas Ecuaciones de Equilibrio en Contorno (notar que, a diferencia de antes, ahora no son ecuaciones diferenciales).
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 4

Marcelo Valderrey
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Una vez que entendemos el carácter direccional de las tensiones en un sólido elástico, ya es posible plantear las primeras ecuaciones de la TEL, denominadas Ecuaciones Diferenciales de Equilibrio en Volumen, que resultan simplemente de hacer sumatorias de fuerzas y de momentos en un cubo de tamaño diferencial (todo lo demás son pasos algebraicos).
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 21

Marcelo Valderrey
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Teniendo todas las ecuaciones de la elasticidad lineal en un formato conveniente para su resolución, comprobamos que la vía analítica es muy compleja y restringida a geometrías y condiciones muy sencillas. Simplemente sucede que "la mayoría de las soluciones reales no son polinomios" ni tienen expresiones explícitas como quisiéramos. La óptica de resolución numérica plantea al menos dos grandes alternativas: aproximar derivadas con diferencias finitas (Método de las Diferencias Finitas MDF) o armar una función muy flexible, polinómica a trozos, comandada por "n" parámetros y obtener de forma aproximada los mismos "armando un sistema de nxn ecuaciones linealmente independientes" (Métodos de Resíduos Ponderados MRP, con el Método de Elementos Finitos MEF como caso particular). Lo más curioso es que, por distintos que parezcan estos métodos, es posible observar finalmente que todos ellos responden a la misma idea general: PROPONER UNA FUNCION Y APROXIMARLA A TRAVES DE LA PONDERACION DE LOS RESIDUOS QUE PROVOCAN EN LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.
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Teoría de la Elasticidad Lineal - Parte 2

Marcelo Valderrey
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Es importante retomar las ideas de una teoría previa y mucho más sencilla, derivada de la Resistencia de Materiales, cuyo modelo de cálculo es algebraico y fácil de aplicar manualmente. Resulta sorprendente que tan solo con obviar una de sus hipótesis (la de Bernoulli) el desarrollo teórico termine en esta nueva teoría, cuyo modelo matemático es de Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales y la única forma práctica de resolverlo sea a través de Métodos Numéricos.
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